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变上限积分求导公式

发表于:2022-09-27 14:58:03

变上限积分求导公式:即∫f(t)dt(积分限a到x),通过映射的观点,每给一个x就积分出一个实数,所以这是关于x的一元函数,记为g(x)=∫f(t)dt(积分限a到x),注意积分变量用什么符号都不影响积分值,改用t是为了不与上限x混淆。

证明过程

现在用导数概念求g'(x),通过概念,g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h(h趋于0,积分限前者为a到x+h,后者为a到x)=lim∫f(t)dt/h(积分限x到x+h,通过的是积分的区间可加性),通过积分中值定理,存在ξ属于(x,x+h),使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h,又由于h趋于0时ξ是趋于x的,故极限=limf(ξ)h/h=f(x),至此证明了g'(x)=f(x)。

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